Enunciado

36. Determine o desenvolvimento de Taylor de P x = x 4 -   3 x 2 +   x + 1 em potências de

a) x - 2 b) x + 1

Passo 1

Para resolver o item a), seja P x =   P x o +   P ' x o x - x o +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ x o 3 ! x - x o 3 + P ' ' ' ' x o 4 ! x - x o 4 . Para P x = x 4 - 3 x 2 +   x + 1   e x o = 2 , teremos

P x = P 2 +   P ' 2 x - 2 +   P " ( 2 )   2 ! x - 2 2 + P ´ ´ ´ 2 3 ! x - 2 3 + P ' ' ' ' 2 4 ! x - 2 4

Agora, calculemos as derivadas de P x até a 4.a ordem.

P ' x = 4 x 3 - 6 x + 1

P ' ' x = 12 x 2 - 6

P ' ' ' x = 24 x

P ' ' ' ' x = 24

Substituindo x por 2 em cada uma das derivadas acima, teremos:

P ' 2 = 21

P ' ' 2 = 42

P ' ' ' 2 = 48

P ' ' ' ' 2 = 24

Além disso, P 2 = 7 .

Portanto,

P x = 7 +   21 x - 2 +   42   2 ! x - 2 2 + 48 3 ! x - 2 3 + 24 4 ! x - 2 4 = = 7 + 21 x - 2 + 21 x - 2 2 + 8 x - 2 3 + x - 2 4

Passo 2

De maneira similar, para o item b), vamos calcular as derivadas de P x para x o = - 1 utilizando as equações obtidas no item a). Portanto,

P ' - 1 = 3

P ' ' - 1 = 6

P ' ' ' - 1 = - 24

P ' ' ' ' - 1 = 24

Além disso, P - 1 = - 2 .

Portanto,

P x = - 2 +   3 x - 2 +   6   2 ! x - 2 2 + - 24 3 ! x - 2 3 + 24 4 ! x - 2 4 =   = - 2 + 3 x - 2 +   3 x - 2 2 - 4 x - 2 3 + x - 2 4

Resposta

A - P ( x ) = 7 + 21 x - 2 + 21 x - 2 2 + 8 x - 2 3 + x - 2 4

B - P x = - 2 +   3 x - 2 +   3 x - 2 2 - 4 x - 2 3 + x - 2 4

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.4 .f x = t gx ; a = 0 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.9 .f x = l n x ; a = 1 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1. f x = 1 x - 2 ; a = 1 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.3 .f x = x 3 2 ; a = 4 ; n = 3 .
30. Prove o Teorema 11.5.2.