Enunciado

Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2 p é dado.

Passo 1

Fala galera, nosso objetivo é determinar as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2 p é dado.

Vamos nessa!!!!!

Passo 2

Sendo a e b as dimensões do retângulo, temos que o perímetro será:

2 p = 2 a + 2 b

b = p - a

com p sendo uma constante.

Além disso, a área y é uma função de a e b :

y a , b = a b

Mas como sabemos que b = p - a , podemos transformá-la numa função somente de a :

y a = a p - a

y a = p a - a 2

Passo 3

Como queremos que a área y seja máxima, temos que obter o máximo global da função y a . Então, primeiro derivamos e igualamos a 0 , lembrando que p é uma constante:

y ' a = p - 2 a

p - 2 a = 0

a = p 2

Desse modo, uma das dimensões do retângulo será a = p 2 , e a outra dimensão será:

b = p - a = p - p 2

b = p 2

Como y 0 = 0 e y a   = - ∞ , a máxima área será a de um quadrado de lado p 2 , como acabamos de obter.

Resposta

Quadrado de lado p 2

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