Enunciado

Determine a distância entre as retas reversas com equações paramétricas

x = 1 + t ,       y = 1 + 6 t ,       z = 2 t e

x = 1 + 2 s ,           y = 5 + 15 s ,           z = - 2 + 6 s

Passo 1

Precisamos calcular a distância entre essas duas retas. Vamos assumir que existe um plano P 1   que contém a reta de equação r → 1 e um plano P 2 que contém a reta de equação r → 2 . A distância entre as retas vai ser a distância entre os planos que contém essas duas retas. Lembrando que a distância entre dois planos pode ser calculada escolhendo um ponto arbitrário em um dos planos e calculando a distância até o outro.

Vamos primeiro determinar esse ponto.

Vou chamar a primeira reta de r → 1 :

x 1 = 1 + t y 1 = 1 + 6 t z 1 = 2 t

Fazendo t = 0   (por simplicidade) na reta:

x 1 = 1 + 0 = 1 y 1 = 1 + 0 = 1 z 1 = 0

O ponto é P 1 ( 1,1 , 0 ) .

Passo 2

O próximo passo é determinar a equação do plano que contém a outra reta.

Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Vou chamar a segunda reta de r → 2 :

x 2 = 1 + 2 s y 2 = 5 + 15 s z 2 = - 2 + 6 s

Um ponto que pertence ao plano pode ser dado fazendo s = 0   (de novo por simplicidade) na equação paramétrica da reta r → 2 :

x 2 = 1 + 0 y 2 = 5 + 0 z 2 = - 2 + 0

Assim o ponto pertencente a esse plano é P 2 ( 1,5 , - 2 )

Dois vetores que podem formar esse plano são os vetores diretores das retas e fazendo o produto vetorial entre eles podemos ter um vetor normal ao plano!

Os vetores diretores são: v → 1 1 , 6,2 e v → 2 ( 2,15,6 ) e o produto vetorial entre eles é:

n → = v → 1 × v → 2 = i → j → k → 1 6 2 2 15 6 = i → 3 6 - 30 + j → 4 - 6 + k → ( 15 - 1 2 )

n → = ( 6 , - 2,3 )

E a equação do plano vai ser:

6 x - 1 - 2 y - 5 + 3 z + 2 = 0

6 x - 2 y + 3 z - 6 + 10 + 6 = 0

6 x - 2 y + 3 z + 10 = 0

Pronto! Agora é só calcular a distância desse plano que acabamos de calcular ao ponto P 1 lá do passo 1 !

Passo 3

Lembrando que a fórmula da distância D do ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano de equação a x + b y + c z + d = 0 é:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2  

E que P = P 1 = ( 1,1 , 0 ) .e a equação do plano é 6 x - 2 y + 3 z + 10 = 0 , a distância D fica:

D = | 6.1 - 2 . 1 + 3 . 0 + 1 0 | 6 2 + ( - 2 ) 2 + 3 2   = | 6 - 2 + 10 | 36 + 4 + 9 = 14 7 = 2

Então a distância entre as duas retas é 2 .

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

2

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Calcular a distância entre os planos paralelos π 1 : x + y + z = 4 π 2 : 2 x + 2 y + 2 z = 5
Dado o ponto P 5,2 , 3 e o plano π : 2 x + y + z - 3 = 0 , determinar:A distância de P ao plano π .
O plano π : 3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular:C) o volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados
O plano π : 3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular:b) a altura desse triangulo relativa à base que está no plano xOz
O plano π : 3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular:A área do triangulo ABC