Enunciado

Determine (a) o domínio de f e (b) f - 1 e seu domínio.

f x = ln ⁡ 2 + ln ⁡ x

Passo 1

Opa, bora lá! Temos que encontrar o domínio da função f e f - 1 :

f x = ln ⁡ 2 + ln ⁡ x

Lembrando que Domínio é o conjunto de todos os valores que x pode assumir na função, em questões como essa, o que limita um domínio são as condições de existência da equação que define a função.

Ou seja, o domínio são os valores de x “permitidos” pra essa função!

Já para achar a função inversa f - 1 seguimos um passo a passo:

- chamamos f x = y ;

- manipulamos a equação pra isolar o x ;

ATENÇÃO: pra ficar mais fácil de enxergar, definimos o domínio da inversar.

- depois do x isolado, trocamos o x por y e o y por x ;

- chamamos y = f - 1 x ;

E essa função é a inversa.

Passo 2

Nesse problema, temos duas condições de existência a serem cumpridas:

do logaritmo externo:

2 + ln ⁡ ( x ) > 0

do logaritmo interno:

x > 0

Isolando x na primeira condição acima:

ln ⁡ ( x ) > - 2

x > e - 2

Agora, é só juntar todas as condições de x obtidas, e como a condição do passo anterior já inclui a condição de ln ⁡ ( x ) , concluímos que o domínio D da função é tal que:

D = e - 2 , +   ∞

Passo 3

Vamos agora calcular a função inversa de f .

Chamando f x = y :

y = ln ⁡ 2 + ln ⁡ x

Agora vamos isolar o x .

Como temos ln de um lado, podemos aplicar exponencial dos dois lados:

e y = 2 + ln ⁡ x

e y - 2 = ln ⁡ x

Aplicando exponencial novamente:

x = e e y - 2

E essa é a função inversa (em termos de y ):

x = e e y - 2

Passo 4

Com a inversa calculada, agora para definir o domínio, procuremos por condições de existência. Como as funções exponenciais são definidas para todo o conjunto real, não há condições, basta que a abscissa seja um número Real.

Passo 5

Agora vamos trocar onde tem x por y e onde tem y por x :

y = e e x - 2

E trocamos y por f - 1 x e achamos a função inversa:

f - 1 x = e e x - 2

Resposta

a)

] e - 2 , +   ∞ [

b)

f - 1 x = e e x - 2

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