Enunciado

Determine (a) o domínio de f e (b) f - 1 e seu domínio.

f x = 3 - e 2 x

Passo 1

Opa, bora lá! Temos que encontrar o domínio da função f e f - 1 :

f x = 3 - e 2 x

Lembrando que Domínio é o conjunto de todos os valores que x pode assumir na função, em questões como essa, o que limita um domínio são as condições de existência da equação que define a função.

Ou seja, o domínio são os valores de x “permitidos” pra essa função!

Já para achar a função inversa f - 1 seguimos um passo a passo:

- chamamos f x = y ;

- manipulamos a equação pra isolar o x ;

ATENÇÃO: pra ficar mais fácil de enxergar, definimos o domínio da inversar.

- depois do x isolado, trocamos o x por y e o y por x ;

- chamamos y = f - 1 x ;

E essa função é a inversa.

Passo 2

Nesse problema, temos uma condição de existência a ser cumprida, uma vez que a função raiz quadrada assume valores imaginários para números negativos, dessa forma:

3 - e 2 x ≥ 0

Agora, basta isolar x na inequação acima:

3 - e 2 x ≥ 0

e 2 x ≤ 3

2 x ≤ ln ⁡ ( 3 )

x ≤ ln ⁡ 3 2

Já concluímos nesse passo que o domínio D da função f é tal que:

D = -   ∞ , ln ⁡ 3 2

Passo 3

Para seguir, precisamos calcular a inversa de f .

Chamando f x = y :

y = 3 - e 2 x

Agora vamos isolar o x .

Como temos raiz, podemos elevar ao quadrado dos dois lados (e a raiz some)

y 2 = 3 - e 2 x

e 2 x = 3 - y 2

2 x = ln ⁡ 3 - y 2

x = ln ⁡ 3 - y 2 2

E essa é a função inversa (em termos de y ):

x = ln ⁡ 3 - y 2 2

Passo 4

Com a inversa calculada, agora para definir o domínio, procuremos por condições de existência. Como a função logaritmica só é definida para valores positivos, deve-se satisfazer:

3 - y 2 > 0

y 2 < 3

- 3 < y < 3

Tendo essa condição do passo anterior em mãos e sabendo que y é um valor positivo, uma vez que, é resultado de uma raiz (lembra do Passo 3: y = 3 - e 2 x   ), chegamos na condição final:

0 < y < 3

E assim, a gente acabou de chegar à conclusão do domínio de f - 1 é:

D = 0 , 3

Passo 5

Agora vamos trocar onde tem x por y e onde tem y por x :

y = ln ⁡ 3 - x 2 2

E trocamos y por f - 1 x e achamos a função inversa:

f - 1 x = ln ⁡ 3 - x 2 2

Resposta

a)

-   ∞ , ln ⁡ 3 2

b)

f - 1 x = ln ⁡ 3 - x 2 2

0 , 3

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