Enunciado

Seja f x = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .

  1. Encontre f - 1 . Como está relacionada a f ?
  2. Identifique o gráfico de f e explique a sua resposta para a parte (a) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função para o intervalo 0 ≤ x ≤ 1 :

f x = 1 - x 2

Queremos encontrar a função inversa f - 1 .

Mas o que é essa função??

Em termos simples, se você tem uma função f ( x ) que mapeia elementos do conjunto A para elementos do conjunto B , então a função inversa f - 1   ( y ) mapeia elementos de B de volta para elementos de A .

Para calcular essa função, precisaremos isolar o x em função de y .

Em seguida, deveremos plotar o gráfico da função para justificarmos o que fizemos.

Bora lá?? 😉

Passo 2

  1. Para calcular f - 1 podemos seguir um passo a passo. Primeiro escrevemos f x = y .
  2. Assim:

    f x = y = 1 - x 2

    Agora isolamos x em função de y :

    y = 1 - x 2 ∴

    y 2 = 1 - x 2 ∴

    x 2 = 1 - y 2 ∴

    x =   1 - y 2

    Observe que como x está definido no intervalor 0 ≤ x ≤ 1 , consideramos somente a raiz positiva.

    Por fim, para expressarmos f - 1   como uma função de x , trocamos x por y   :

    x = 1 - y 2 ∴

    y = 1 - x 2 ∴

    y = f - 1 x = 1 - x 2

    Concluímos que a função inversa de f , f - 1 , é igual a função f , ou seja, f = f - 1 .

    Passo 3

  3. Plotando o gráfico de f , temos:

O gráfico de f é a porção do círculo x 2 + y 2 = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 , ou seja, um quarto do círculo no primeiro quadrante.

Observe que o gráfico de f é simétrico em relação a uma linha imaginária y = x , então sua reflexão sobre y = x é ele mesmo, por isso concluímos que:

f - 1 = f

Resposta

f - 1 x = 1 - x 2

Observe que o gráfico de f é simétrico em relação a uma linha imaginária y = x , então sua reflexão sobre y = x é ele mesmo, por isso concluímos que f - 1 = f .

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