Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

h x = x + 6 ,   s e   x ≤ - 4 16 - x 2 ,   s e - 4 < x < 4 6 - x ,   s e   x > 4

Passo 1

Vamos seguir um caminho inverso nessa função: primeiro determinar o gráfico e a partir dele definir o domínio e a imagem da função. Vamos construir a reta x + 6 que define a função para todos os valores de x ≤ - 4 . Ficamos com essa reta:

Agora vamos definir o gráfico para o 2º intervalo da função: y = 16 - x 2   para - 4 ≤ x ≤ 4 . Isso é o gráfico de uma semicircunferência de raio igual a 4 . Assim:

E a 3ª equação define a reta: 6 - x . No gráfico ela fica:

Agora vamos combinar os gráficos de cada uma dessas 3 funções e temos o gráfico da nossa função resultante:

Esse é o gráfico da função!

Passo 2

Agora ficou fácil, né? Vemos que a função está definida para todos os valores de x e que a imagem dela é - ∞ ,   4 .

Repare que temos um intervalo aberto no 4, pois os pontos do raio não pertencem à semicircunferência, ou seja, o ponto ( 0 ,   4 ) não pertence à nossa função.

Resposta

Domínio: ( - ∞ ,   + ∞ )

Imagem: ( - ∞ ,   4 )

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