Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

32. 3 y = x 3 - 2 x 2 - 15 x ; y = x 3 - 4 x 2 - 11 x + 30

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição do intervalo [ - 3 ,   3 ] e [3,5] no eixo x , onde as curvas se interceptam. ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A 1 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n w i 3 - 4 w i 2 - 11 w i + 30 - w i 3 3 - 2 w i 2 3 - 5 w i ∆ i x =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 2 3 w i 3 - 2 - 6 w i + 30 ) ∆ i x

A 2 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ w i 3 3 - 2 w i 2 3 - 5 w i - w i 3 - 4 w i 2 - 11 w i + 30 ] ∆ i x =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - 2 3 w i 3 + 10 3 w i 2 + 6 w i - 30 ) ∆ i x

Ufa, expressão grande mas vamos entender... Dividimos em duas áreas pois a altura dos mini retângulos será a função y = x 3 - 4 x 2 - 11 x + 30 (que tá por cima) menos a curva y = x 3 3 - 2 x 2 3 - 5 x (que tá por baixo), isso de x = -3 até 3 ( A 1 ) e o contrário de x = 3 até 5 ( A 2 ) .

Então A = A 1 + A 2

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esses limites podem ser calculados como uma integrais de f x d x , assim ó:

A 1 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 2 3 w i 3 - 10 3 w i 2 - 6 w i + 30 ) ∆ i x = ∫ - 3 3 ( 2 3 x 3 - 10 3 x 2 - 6 x + 30 ) d x

A 2 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - 2 3 w i 3 + 10 3 w i 2 + 6 w i - 30 ) ∆ i x = ∫ 3 5 ( - 2 3 x 3 + 10 3 x 2 + 6 x - 30 )   d x

Resolvendo...

A 1 = ∫ - 3 3 ( 2 3 x 3 - 10 3 x 2 - 6 x + 30 ) d x

A 1 = x 4 6 - 10 x 3 9 - 3 x 2 + 30 x - 3 3 = [ 3 4 6 - 10 . 3 3 9 - 3 . 3 2 + 30 . 3 - ( - 3 ) 4 6 - 10 - 3 3 9 - 3 - 3 2 + 30 ( - 3 ) ] = 120

A 2 = ∫ 3 5 ( - 2 3 x 3 + 10 3 x 2 + 6 x - 30 )   d x

A 2 = - x 4 6 + 10 x 3 9 + 3 x 2 - 30 x 3 5 = - 5 4 6 + 10 . 5 3 9 + 3 . 5 2 - 30 . 5 - - 3 4 6 + 10 . 3 3 9 + 3 . 3 2 - 30 . 3 = 56 9

Finalmente:

A = A 1 + A 2 = 126 2 9

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 2 3 w i 3 - 10 3 w i 2 - 6 w i + 30 ) ∆ i x +   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - 2 3 w i 3 + 10 3 w i 2 + 6 w i - 30 ) ∆ i x

c) A = 126 2 9

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