Enunciado

Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( 1 , 0 , - 2 ) e ( 3,4 , 0 ) .

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

O problema pede a equação do plano que está no meio dos pontos P 1 ( 1,0 , - 2 ) e P 2 ( 3,4 , 0 ) . Então daqui já podemos achar o ponto que pertence ao plano, pois o plano passa exatamente no ponto médio entre esses dois.

Mas como achamos o ponto médio? É só somar as coordenadas iguais e dividir por dois. Assim ó:

x m = x 1 + x 2 2 = 1 + 3 2 = 2

Então a coordenada x do ponto médio é x m = 2 . Do mesmo modo vamos encontrar y   e   z :

y m = 0 + 4 2 = 2

z m = - 2 + 0 2 = - 1

Oba! Encontramos o ponto que pertence ao plano! P = ( 2,2 , - 1 )

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano. Vamos pensar um pouco. Se quisermos o plano que é equidistante àqueles pontos, então o plano passa bem no meio deles, certo?

O seguimento que une esses dois pontos não é perpendicular ao plano? É SIM! Então é daí que vamos calcular o vetor normal!

v → = P 2 - P 1 = P 1 P 2 → = 3,4 , 0 - 1,0 , - 2 = ( 2,4 , 2 )

Passo 3

Já que temos o vetor diretor v → = 2 , 4,2 = ( a , b , c ) e o ponto P m = x 0 , y 0 , z 0 = ( 2,2 , - 1 ) , e lembrando que a equação do plano é (dá uma espiada no passo um):

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Agora é só substituir!

2 x - 2 + 4 y - 2 + 2 z + 1 = 0

2 x + 4 y + 2 z - 4 - 8 + 2 = 0

2 x + 4 y + 2 z - 10 = 0

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 :

x + 2 y + z - 5 = 0

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

x + 2 y + z - 5 = 0

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