Enunciado

Determine a equação do plano tangente ao hiperboloide x 2 / a 2 + y 2 / b 2 - z 2 / c 2 = 1 em ( x 0 , y 0 , z 0 ) e expresse-a de forma semelhante à do Exercício 49.

Passo 1

Podemos determinar a equação do plano tangente a uma superfície de nível do tipo F x , y , z = k em ( x 0 , y 0 , z 0 ) pela fórmula 19 desta seção

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

No nosso caso temos que

F x , y , z = x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2

e k = 1 .

Passo 2

Calculando as derivadas parciais

F x = 2 x a 2

F y = 2 y b 2

F z = - 2 z c 2

Substituindo na equação do plano

2 x 0 a 2 x - x 0 + 2 y 0 b 2 y - y 0 - 2 z 0 c 2 z - z 0 = 0

Podemos dividir por 2

x 0 a 2 x - x 0 + y 0 b 2 y - y 0 - z 0 c 2 z - z 0 = 0

Passo 3

Distribuindo as multiplicações

x x 0 a 2 - x 0 2 a 2 + y y 0 b 2 - y 0 2 b 2 - z z 0 c 2 + z 0 2 c 2 = 0

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 - z z 0 c 2 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 - z 0 2 c 2

Do lado direito temos F x 0 , y 0 , z 0 que é igual a 1 para todo x 0 , y 0 , z 0 , já que este ponto está contido na superfície, então

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 - z z 0 c 2 = 1

é o plano tangente ao hiperboloide.

Resposta

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 - z z 0 c 2 = 1

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