Enunciado

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superfície e o plano tangente.

r u , v = 1 - u 2 - v 2 i ⃑ - v j ⃑ - u k ⃑   ; ( - 1 , - 1 , - 1 )

Passo 1

Temos do exercício   r u , v = 1 - u 2 - v 2 i ⃑ - v j ⃑ - u k ⃑  

Onde substituindo - 1 , - 1 , - 1   nas equações paramétricas teremos u=1 e v=1

O primeiro vetor tangente a curva no ponto (1,1) será quando derivarmos r por exemplo em relação a v.

r v = ∂ x ∂ v u o , v o i ⃑ + ∂ y ∂ v u o , v o j ⃑ + ∂ z ∂ v u o , v o k ⃑ equação 4

r v = ∂ ( 1 - u 2 - v 2 ) ∂ v 1 , 1 i ⃑ + ∂ ( - v ) ∂ v 1 , 1 j ⃑ + ∂ ( - u ) ∂ v 1 , 1 k ⃑

r v = - 2 1 i ⃑ - k ⃑ = - 2 i ⃑ - k ⃑

O outro vetor tangente será quando derivarmos em relação a u.

r u = ∂ ( 1 - u 2 - v 2 ) ∂ u 1 , 1 i ⃑ + ∂ ( - v ) ∂ u 1 , 1 j ⃑ + ∂ ( - u ) ∂ u 1 , 1 k ⃑

r u = - 2 1 i ⃑ - j ⃑ = - 2 i ⃑ - j ⃑

Logo r u × r v = ( - 2 i ⃑ - j ⃑   ) × ( - 2 i ⃑ - k ⃑ )

r u × r v = - i + 2 j + 2 k ⃑

Passo 2

Logo o plano que é tangente a o vetor no ponto   r = ( - 1 , - 1 , - 1 ) e perpendicular á r u × r v será.

- 1 x + 1 + 2 y + 1 + 2 z + 1 = 0

Que de forma reduzida ficará.

- x + 2 y + 2 z = - 3

Resposta

- x + 2 y + 2 z = - 3

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