Enunciado

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.

x = u 2 + 1 ,   y = v 3 + 1 ,   z = u + v ,           ( 5,2 , 3 )

Passo 1

Primeiramente deixaremos as equações paramétricas na forma:

r u , v = x u , v i ⃑ + y u , v j ⃑ + z u , v k ⃑

r u , v = u 2 + 1 i ⃑ + v 3 + 1 j ⃑ + u + v k ⃑

O primeiro vetor tangente a curva no ponto será quando derivarmos r por exemplo em relação a v.

r v = ∂ x ∂ v u o , v o i ⃑ + ∂ y ∂ v u o , v o j ⃑ + ∂ z ∂ v u o , v o k ⃑ equação 4

r v = ∂ u 2 + 1 ∂ v u o , v o i ⃑ + ∂ v 3 + 1 ∂ v u o , v o j ⃑ + ∂ u + v ∂ v u o , v o k ⃑

r v = 3 v 2 j ⃑ + k ⃑

O outro vetor tangente será quando derivarmos em relação a u.

r u = ∂ x ∂ u u o , v o i ⃑ + ∂ y ∂ u u o , v o j ⃑ + ∂ z ∂ u u o , v o k ⃑

r u = 2 u i ⃑ + k →

Logo r u × r v = 2 u i ⃑ + k → × 3 v 2 j ⃑ + k ⃑ = - 3 v 2 i ⃑ - 2 u j ⃑ + 6 u v 2 k ⃑

Passo 2

Agora aplicaremos os vetores tangentes no ponto 5,2 , 3 que substituindo nas equações paramétricas equivale à u = 2   e   v = 1 .

Assim r u × r v 2,1 = - 3 i ⃑ - 4 j ⃑ + 12 k ⃑

Passo 3

Logo o plano que é tangente a o vetor r u × r v será.

- 3 x - 5 - 4 y - 2 + 12 z - 3 = 0

3 x + 4 y - 12 z = - 13

Resposta

3 x + 4 y - 12 z = - 13

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