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Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.

A Parte da superfície z = c o s ⁡ ( x 2 + y 2 ) que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Para o caso de uma função ser do tipo z = f ( x , y ) a área de superfície fica.

A = ∬ 1 + f x 2 + f y 2 d A

z = f x , y = c o s ⁡ ( x 2 + y 2 )

f x 2 = ∂ z ∂ x 2 = ∂ ∂ x cos ⁡ x 2 + y 2 2 = ( - 2 x . s e n x 2 + y 2 ) 2

f x 2 = 4 x 2 s e n 2 ( x 2 + y 2 )

f y 2 = ∂ z ∂ y 2 = ∂ ∂ y cos ⁡ x 2 + y 2 2 = ( - 2 y . s e n x 2 + y 2 ) 2

f y 2 = 4 y 2 . s e n 2 ( x 2 + y 2 )

Assim nós teremos:

1 + f x 2 + f y 2 = 1 + 4 x 2 s e n 2 x 2 + y 2 + 4 y 2 . s e n 2 x 2 + y 2 =

= 1 + 4 ( x 2 + y 2 ) . s e n 2 x 2 + y 2

Assim a área A fica:

A = ∬ 1 + 4 ( x 2 + y 2 ) . s e n 2 x 2 + y 2 d A

Que em coordenadas polares ficará:

A = ∬ 1 + 4 ( r 2 ) . s e n 2 r 2 r d r d θ onde 0 ≤ t h e t a ≤ 2 π   e 0 ≤ r ≤ 1 região circular x 2 + y 2 = 1

A = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 1 + 4 r 2 . s e n 2 r 2   r d r = 2 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2 . s e n 2 r 2   r d r ≅ 4,1073

Resposta

A ≅ 4,1073

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