Enunciado

1-6. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

2. z = x + 2 2 - 2 y - 1 2 - 5 ,   ( 2 ,   3 ,   3 )

Passo 1

Para determinarmos uma equação do plano tangente à superfície em um ponto específico devemos, assim como discutido na seção 14.4 do Stewart, determinar:

z - z o = f x x o ,   y o x - x o + f y x o ,   y o y - y o

No qual os valores com subíndice " o " se tratam do ponto dado pelo enunciado. Sendo assim, primeiramente vamos determinar as derivadas parciais no ponto dado:

f x 2 ,   3 = 2 x + 2 = 8

f y 2 ,   3 = - 4 y - 1 = - 8

Passo 2

Agora que já determinamos as derivadas parciais no ponto especificado, basta substituirmos z o = 3 , y o = 3 e x o = 2 , saca só:

z - 3 = 8 . x - 2 - 8 . ( y - 3 )

z - 3 = 8 x - 16 - 8 y + 24

∴ z = 8 x - 8 y + 11

Que é a equação que queríamos.

Resposta

z = 8 x - 8 y + 11

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Considere a função f x , y = x 3 x 2 + y 2 . Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.
A função z = z x , y é diferenciável e dada implicitamente pela equação x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 . Mostre que x 0 x a 2 + y 0 y b 2 + z 0 z c 2 = 1 é a equação do plano tangente no ponto x 0 ,
Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 e que contenham a intersecção dos planos x + y + z = 3 e z = 0 .
Considere a função f x , y = xϕ x y onde ϕ u é uma função derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.
Considere a função f x , y = xg x 2 - y 2 , onde g u é uma função derivável de uma variável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de a , a , f a , a passa pela origem.