Enunciado

Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.

x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,       e m     1,2

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da reta tangente à curva de nível no ponto 1,2 . Para isso, vamos tomar f x , y = x 2 + x y + y 2 - 3 y e dizer que a curva dada é a curva de nível 1 dessa função.

Sabemos que o gradiente de f é ortogonal à curva de nível em todos os pontos, de modo que que o calculando-o teremos um vetor perpendicular à reta tangente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x + y ,   x + 2 y - 3 )

Usando x = 1 e y = 2 :

∇ f 1,2 = 2 + 2,1 + 4 - 3 = ( 4,2 )

Este é o vetor diretor da reta normal.

Passo 2

O vetor gradiente é ortogonal à curva de nível, mas queremos o vetor tangente. O que fazer? Devemos achar um vetor que ( a ,   b ) que será perpendicular ao gradiente. Para isso, o produto escalar deles deve ser zero:

a ,   b ⋅ 4,2 = 0

Portanto,

4 a + 2 b = 0 ⇒ b = - 2 a

Como só estamos interessados na direção da reta tangente quando procuramos o vetor diretor da reta tangente, vamos tomar a = 1 , de modo que o vetor diretor será:

u → = ( 1 , - 2 )

Sabemos que a equação da reta que passa pelo ponto x 0 , y 0 com vetor diretor u → é dada por:

x , y = x 0 , y 0 + λ u →

Assim, a equação pedida será

x , y = 1,2 + λ ( 1 , - 2 )

Resposta

x , y = 1,2 + λ ( 1 , - 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derivada direcional zero Em quais direções a derivada de ƒ(x, y) = (x2 – y2)/(x2 + y2) em P(1, 1) é igual a zero?
Seja ƒ(x, y) = x2 – xy + y2 – y. Encontre as direções u e os valores de Duƒ(1, –1) para os quais a. Duƒ(1, –1) é máximob. Duƒ(1, –1) é mínimoc. Duƒ(1, –1) = 0d. Duƒ(1, –1) = 4e. Duƒ(1, –1) = –3
Seja ƒ(x, y) =(x-y)/(x+y) . Encontre as direções u e os valores de Duƒ(1/2, 3/2) para os quais a. Duƒ(1/2, 3/2) é máximob. Duƒ(1/2, 3/2) é mínimoc. Duƒ(1/2, 3/2) = 0d. Duƒ(1/2, 3/2) = -2e. Duƒ(1/2, 3/
Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções. g x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2
Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções. f x , y , z = ( x / y ) - y z