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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 13.1 - Ex. 3a

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Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.

x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,       e m     1,2

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da reta tangente à curva de nível no ponto 1,2 . Para isso, vamos tomar f x , y = x 2 + x y + y 2 - 3 y e dizer que a curva dada é a curva de nível 1 dessa função.

Sabemos que o gradiente de f é ortogonal à curva de nível em todos os pontos, de modo que que o calculando-o teremos um vetor perpendicular à reta tangente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x + y ,   x + 2 y - 3 )

Usando x = 1 e y = 2 :

∇ f 1,2 = 2 + 2,1 + 4 - 3 = ( 4,2 )

Este é o vetor diretor da reta normal.

Passo 2

O vetor gradiente é ortogonal à curva de nível, mas queremos o vetor tangente. O que fazer? Devemos achar um vetor que ( a ,   b ) que será perpendicular ao gradiente. Para isso, o produto escalar deles deve ser zero:

a ,   b ⋅ 4,2 = 0

Portanto,

4 a + 2 b = 0 ⇒ b = - 2 a

Como só estamos interessados na direção da reta tangente quando procuramos o vetor diretor da reta tangente, vamos tomar a = 1 , de modo que o vetor diretor será:

u → = ( 1 , - 2 )

Sabemos que a equação da reta que passa pelo ponto x 0 , y 0 com vetor diretor u → é dada por:

x , y = x 0 , y 0 + λ u →

Assim, a equação pedida será

x , y = 1,2 + λ ( 1 , - 2 )

Resposta

x , y = 1,2 + λ ( 1 , - 2 )

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