Enunciado

Derivada direcional zero Em quais direções a derivada de ƒ(x, y) = (x2 – y2)/(x2 + y2) em P(1, 1) é igual a zero?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Para encontrarmos a direção do vetor u , precisamos primeiro achar o gradiente da função. Ou seja, temos que achar o vetor gradiente. Ele é dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j

Dessa forma, para a nossa função, temos:

∇ f = 4 x y 2 x 2 + y 2 2 i - 4 x 2 y x 2 + y 2 2 j

Shoooow. Agora é aplicar ao ponto 1 , 1

Para isso, substituiremos na nossa função gradiente. Ou seja:

∇ f P 0 = i - j

Passo 2

Para encontrar o nosso vetor u , ele é dado por:

±   u = ∇ f ∇ f

Aplicando:

±   u = i - j 1 2 + 1 2

±   u = i - j 2

Ou seja:

±   u = i - j 2

São as direções dos vetores para os quais a derivada a nossa função é 0!

E é isso my good green fellas, até a próximas xuxuzinhos

Resposta

±   u = i - j 2

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Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇ f x , y , z sendo f x , y , z = z arctg ⁡ x y
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇ f x , y , z sendo f x , y , z = x 2 + y 2 + 1 z 2
Calcule grad f (x , y) sendo f (x , y) = arctg (x)/(y)
Seja f (x , y) = x^2 - y^2 . Represente geometricamente grad f (x_0 , y_0) , sendo(x_0 , y_0) = (1 , - 1)