Enunciado

Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.

f x , y , z = ( x / y ) - y z ,     P 0 ( 4,1 , 1 )

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! A primeira coisa que temos que achar, é a direção nas quais as funções aumentam e diminuem em relação a um P 0   ( 4,1 , 1 ) . Para isso, temos que achar o vetor gradiente. Ele é dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z j

Dessa forma, para a nossa função, temos:

∇ f = 1 y i - x y 2 + z j - y k

Shoooow. Agora é aplicar ao ponto P 0   ( 4,1 , 1 ) . Para isso, substituiremos na nossa função gradiente. Ou seja:

∇ f P 0 = i - 5 j - k

E como levamos isso para achar a forma em que eles aumentam ou diminuem? Acharemos a direção das derivadas do nosso vetor, dado por u . Dessa forma:

u = ∇ f ∇ f

Aplicando:

u = i - 5 j - k 1 2 + - 5 2 + - 1 2

Ou seja:

u = 1 3 3 i - 5 3 3 j - 1 3 3 k

Passo 2

Agora temos a interpretação disso.

u = 1 3 3 i - 5 3 3 j - 1 3 3 k

Isso significa que a nossa função f cresce mais rapidamente na direção de + u , ou seja, o próprio:

+ u = 1 3 3 i - 5 3 3 j - 1 3 3 k

Isso também significa que a nossa função f diminui mais rapidamente na direção de - u , ou seja:

- u = - 1 3 3 i + 5 3 3 j + 1 3 3 k

Que beleza, meus camaradas! Agora acharemos a derivada da função nessa direção! Temos:

D u f P 0 = ∇ f ⋅ u = ∇ f

∇ f = 3 3

D u f P 0 = 3 3

E analogamente,

D - u f P 0 = - 3 3

E é isso my good green fellas, até a próximas xuxuzinhos

Resposta

+ u = 1 3 3 i - 5 3 3 j - 1 3 3 k

- u = - 1 3 3 i + 5 3 3 j + 1 3 3 k

D u f P 0 = 3 3

D - u f P 0 = - 3 3

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