Enunciado

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = x 3 no ponto de abscissa 1 . Esboce os gráficos de f e da reta tangente.

Passo 1

Procuramos uma reta, então, procuramos uma equação do tipo:

y = a x + b

Como queremos a reta tangente num ponto, seu coeficiente angular é a derivada da função neste ponto, ou seja, a = f ' 1

Devemos então, encontrar f ' x :

Temos que:

x 3 = x 1 3

Assim, podemos aplicar a regra da derivada d d x x n = n x n - 1 :

Para n = 1 3 , temos:

f ' x = 1 3 ⋅ x 1 3 - 1 = 1 3 ⋅ x - 2 3 = 1 3 x 2 3

Logo:

f ' 1 = 1 3 1 2 3 = 1 3

Passo 2

Assim, y = 1 3 x + b

Basta agora achar o valor de b , e como 1 , f 1 é o ponto de tangencia, ele também satisfaz a equação da reta:

f 1 = 1 3 ⋅ 1 + b

1 3 = 1 3 + b

b = 1 - 1 3

b = 2 3

Logo, a equação da reta tangente é: y = 1 3 x + 2 3

Passo 3

O gráfico de f e sua reta tangente em x = 1 então é:

Resposta

y = 1 3 x + 2 3

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