Enunciado

Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.

Passo 1

Pessoal, pra chegar a uma equação pra superfície descrita no enunciado, primeiro precisamos ser capazes de descrever as distâncias.

Se dissermos que um ponto P da nossa superfície tem coordenadas x ,   y , então a distância d 1 de P ao eixo x será:

d 1 = y 2 + z 2

Agora, vamos escrever a distância d 2 de P ao plano y z , que corresponde ao plano x = 0 :

d 2 = x - 0 = x

Passo 2

Mas, o enunciado diz que:

d 1 = 2 d 2

y 2 + z 2 = 2 x

y 2 + z 2 = 4 x 2

Pela forma da equação, podemos identificar a superfície como um cone circular, certo?

Resposta

4 x 2 = y 2 + z 2

Cone circular

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Use um computador com um programa que trace superfícies tridimensionais. Experimente diversos pontos de vista e diversos tamanhos de janela retangular até conseguir uma boa visão da superfície. - 4 x
Coloque a equação na forma-padrão, classifique a superfície e esboce-a. 4 y 2 + z 2 - x - 16 y - 4 z + 20 = 0
Esboce a região delimitada pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 2 - x 2 - y 2 .
Mostre que a curva obtida pela intersecção das superfícies x 2 + 2 y 2 - z 2 + 3 x = 1 e 2 x 2 + 4 y 2 - 2 z 2 - 5 y = 0 está em um plano.