Enunciado

Mostre que a curva obtida pela intersecção das superfícies x 2 + 2 y 2 - z 2 + 3 x = 1 e 2 x 2 + 4 y 2 - 2 z 2 - 5 y = 0 está em um plano.

Passo 1

Galera, para que haja intersecção, devemos igualar x , y ou z através das duas equações, pois nos pontos de intersecção, as duas superfícies compartilham os mesmos pontos.

A gente pode começar isolando z 2 na primeira equação:

x 2 + 2 y 2 - z 2 + 3 x = 1

z 2 = x 2 + 2 y 2 + 3 x - 1

Passo 2

Show! Na outra equação, também aparece um termo com z 2 , bora substituir?

2 x 2 + 4 y 2 - 2 z 2 - 5 y = 0

2 x 2 + 4 y 2 - 2 ( x 2 + 2 y 2 + 3 x - 1 ) - 5 y = 0

2 x 2 + 4 y 2 - 2 x 2 - 4 y 2 - 6 x + 2 - 5 y = 0

6 x + 5 y = 2

Chegamos exatamente à equação de um plano, então a curva obtida pela intersecção das superfícies realmente está em um plano.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Tradicionalmente, a superfície da Terra tem sido modelada por uma esfera, mas o World Geodesic System de 1984 ( W G S - 84 ) usa um elipsoide como um modelo mais preciso. Ele coloca o centro da Terra
Determine uma equação da superfície obtida pela rotação da reta x = 3 y em torno do eixo x .
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos que são equidistantes do ponto - 1 ,0 ,0 e do plano x = 1 . Identifique essa superfície.
Determine uma equação da superfície obtida pela rotação da parábola y = x 2 em torno do eixo y .
Uma torre de resfriamento de um reator nuclear deve ser construída na forma de um hiperboloide de uma folha. O diâmetro na base é 280m e o diâmetro mínimo, 500m acima do solo, é 200m . Encontre uma eq