Enunciado

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = t 2 + 3 ,   y = ln ⁡ ( t 2 + 3 ) ,   z = t ; ( 2 , ln ⁡ 4 , 1 )

Passo 1

Bom, primeiro vamos escrever a equação vetorial para a curva:

r t = t 2 + 3 , ln ⁡ ( t 2 + 3 ) , t

Então, agora, vamos calcular a derivada, para isso, derivamos termo a termo:

r ' t = t t 2 + 3 , 2 t t 2 + 3 , 1  

Passo 2

O ponto ( 2 , ln ⁡ 4 , 1 ) corresponde a t = 1 , então, o vetor tangente existe:

r ' 1 = 1 1 2 + 3 , 2 ⋅ 1 1 2 + 3 , 1  

Isso implica que o vetor é:

r ' 1 = 1 2 , 1 2 , 1

Assim, a linha tangente é paralela ao vetor 1 2 , 1 2 , 1 e inclui o ponto ( 2 , ln ⁡ 4 , 1 ) .

Passo 3

Então, temos que as equações paramétricas são:

x = 2 + 1 2 t

y = ln ⁡ 4 + 1 2 t

z = 1 + t

Resposta

x = 2 + 1 2 t

y = ln ⁡ 4 + 1 2 t

z = 1 + t

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