Enunciado

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 ) ,                       ( 2 ,   3 )

Passo 1

O problema pede para explicarmos por que a função é diferenciável no ponto dado e encontrar a linearização da função nesse ponto. Você precisa lembrar que a linearização nada mais é que a equação do plano tangente:

L x , y = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ( y - y 0 )

Vamos calcular as derivadas parciais de f :

∂ f ∂ x = ln ⁡ ( x y - 5 ) + x ⋅ 1 x y - 5 ⋅ y = ln ⁡ x y - 5 + x y x y - 5

∂ f ∂ y = x ⋅ 1 x y - 5 ⋅ x = x 2 x y - 5

Note que ambas as derivadas são contínuas em x 0 ,   y 0 = ( 2 ,   3 ) , de modo que f é diferenciável nesse ponto!

Passo 2

Usando x 0 = 2 e y 0 = 3 :

∂ f ∂ x 2 ,   3 = ln ⁡ 1 + 6 1 = 6

∂ f ∂ y 2 ,   3 = 4 1 = 4

Além disso,

f 2 ,   3 = 1 + 2 ln ⁡ 1 = 1

Assim, a linearização será

L x , y = 1 + 6 x - 2 + 4 ( y - 3 )

Portanto,

L x , y = 6 x + 4 y - 23

Resposta

L x , y = 6 x + 4 y - 23

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