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Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.

f x , y = 3 x 3 y - x y   e m   1 , - 1 , f 1 , - 1

Passo 1

Podemos encontrar o plano tangente pela fórmula

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto dado. Vamos então calcular as derivadas

f x = 9 x 2 y - y

f y = 3 x 3 - x

Substituindo no ponto 1 , - 1

f x 1 , - 1 = 9 ⋅ 1 2 ⋅ - 1 - - 1 = - 8

f y 1 , - 1 = 3 1 3 - ( 1 ) = 2

Precisamos também da função neste ponto

f 1 , - 1 = 3 ⋅ 1 3 - 1 - 1 ( - 1 ) = - 2

Substituindo todos os valores na equação do plano

z - f 1 , - 1 = f x 1 , - 1 x - 1 + f y ( 1 , - 1 ) ( y + 1 )

z + 2 = - 8 x - 1 + 2 ( y + 1 )

z + 2 = - 8 x + 8 + 2 y + 2

8 x - 2 y + z = 8

Passo 2

Para encontrar a reta normal ao plano, podemos usar o vetor normal, que tiramos dos coeficientes da equação do plano n → = 8 , - 2,1 no ponto dado 1 , - 1 , - 2 e jogamos na fórmula da equação da reta

x , y , z = 1 , - 1 , - 2 + t 8 , - 2,1 ,     t ∈ R

Resposta

8 x - 2 y + z = 8

x , y , z = 1 , - 1 , - 2 + t 8 , - 2,1 ,     t ∈ R

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