Enunciado

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.

z e x - y + z 3 = 2 ,         e m     2 ,   2 ,   1

Passo 1

A questão pede as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada. Para achar essas equações, precisamos do vetor normal ao plano e o vetor diretor da reta normal.

Vamos fazer o seguinte: tomares a superfície dada como uma superfície de nível da função

f x , y , z = z e x - y + z 3 - 2

Assim, o vetor gradiente é perpendicular a essa superfície e corresponderá tanto ao vetor normal do plano tangente como ao vetor diretor da reta normal.

Calculando o gradiente neste problema:

∇ f x , y , z = ( z e x - y , - z e x - y , e x - y + 3 z 2 )

Assim, no ponto em questão, temos que

∇ f 2 ,   2 ,   1 = ( 1 ,   - 1 ,   4 )

Passo 2

Para a equação do plano, vamos usar

x - x 0 ,   y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim,

x - 2 ,   y - 2 , z - 1 ⋅ 1 ,   - 1 ,   4 = 0

Portanto,

x - 2 - y + 2 + 4 z - 4 = 0

Logo,

x - y + 4 z = 4

Passo 3

Já para a reta normal, temos que

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + λ n →

Portanto,

x , y , z = 2 ,   2 ,   1 + λ 1 ,   - 1 ,   4

Resposta

x - y + 4 z = 4

x , y , z = 2 ,   2 ,   1 + λ 1 ,   - 1 ,   4

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