Enunciado

Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.

x = 2 sen ⁡ 3 t

y = t

z = 2 cos ⁡ 3 t

( 0 , π , - 2 )

Passo 1

O plano normal tem como vetor normal r ' ( t ) , então vamos calcular

r ' t = ( 6 cos ⁡ 3 t , 1 , - 6 sen ⁡ 3 t )

No ponto ( 0 , π , - 2 ) temos t = π , então o vetor normal ao plano é

r ' π = ( - 6,1 , 0 )

Agora podemos achar o plano normal com a fórmula

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde ( a , b , c ) é o vetor normal ao plano e ( x 0 , y 0 , z 0 ) o ponto

- 6 x - 0 + y - π + 0 z - ( - 2 ) = 0

O plano normal é

- 6 x + y - π = 0

Passo 2

O plano osculador tem os vetores r ' ( t ) e o vetor normal r ' ' ( t ) então tem como normal

r ' × r ' '

A primeira derivada nós já temos, então basta calcular a segunda-feira

r ' ' t = ( - 18 sen ⁡ 3 t , 0 , - 18 cos ⁡ 3 t )

No ponto t = π

r ' ' π = ( 0,0 , 18 )

Calculando o vetor binormal r ' × r ' '

r ' ( π ) × r ' ' ( π ) = i j k - 6 1 0 0 0 18 = ( 18,108,0 )

Podemos simplificar por 18 , para jogar na fórmula, então um vetor normal ao plano osculador é ( 1,6 , 0 ) , jogando na fórmula

1 x - 0 + 6 y - π + 0 z - ( - 2 ) = 0

O plano osculador é

x + 6 y - 6 π = 0

Resposta

Normal: - 6 x + y - π = 0

Osculador: x + 6 y - 6 π = 0

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Determine a curvatura de r t = ( e t cos ⁡ t ,e t s e nt ,t ) no ponto (1, 0, 0)
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = 1 3 t 3 ,t 2 ,2 t
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t = t i + t j + cos ⁡ t k
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t = t 2 i + t 4 j + t 6 k