Enunciado

Encontre a curvatura de r (t) = ( t , t^2 , t^3 ) no ponto (1, 1, 1).

Passo 1

Primeiramente devemos obter a primeira e segunda derivadas da curva r ( t ) .

r^' (t) = ( 1 , 2 t , 3 t^2 )

r^(' ') (t) = ( 0 , 2 , 6 t )

Observemos que para a função vetorial r ( t ) , no ponto (1, 1, 1) temos t = 1 . Portanto, para esse valor de t , temos:

r^' (1) = ( 1 , 2 , 3 )

r^(' ') (t) = ( 0 , 2 , 6 )

Passo 2

Precisamos calcular o módulo do vetor tangente r ' ( 1 ) pois seu valor será usado depois para calcular a curvatura em t = 1 .

|r^' (1)| = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14)

Passo 3

Também é necessário obter o produto vetorial r^' (t) xx r ' ' ( t ) em t = 1 . Temos:

r^' (1) xx r^(' ') (1) = [[[i,j,k],[1,2,3],[0,2,6]]]

r^' (1) xx r^(' ') (1) = (12 - 6) i - (6 - 0) j + (2 - 0) k

r^' (1) xx r^(' ') (1) = ( 6 , - 6 , 2 )

O módulo do produto vetorial calculado acima é:

|r^' (1) xx r^(' ') (1)| = sqrt(6^2 + (- 6)^2 + 2^2)

|r^' (1) xx r^(' ') (1)| = sqrt(76)

Passo 4

Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema 10 obtemos a curvatura da função vetorial dada.

k (1) = (|r^' (t) xx r^(' ') (t)|)/(|r^' (t)|^3)

k (1) = (sqrt(76))/(( sqrt(14) )^3)

k (1) = (1)/(7) sqrt((19)/(14))

Resposta

k (1) = (1)/(7) sqrt((19)/(14))

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