Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 28
Use coordenadas esféricas.
Passo 1
Encontre a distância média entre um ponto em uma esfera de raio até o seu centro.
Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:
Analisando a região dada no enunciado, temos uma esfera completa, com isso , e . Sabendo que a distância entre dois pontos é dada pela fórmula:
Como o ponto de interesse é o centro da esfera , então a equação se reduz à:
E, usando as relações de transformação para coordenadas esféricas, podemos escrever como:
Passo 2
A distância média será dada pelo valor da integral com relação a distância dividido pelo volume da esfera, que é dado por:
Logo, a distância média pode ser escrita como:
Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:
Passo 3
Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:
Sendo assim, temos que: