Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Encontre a distância média entre um ponto em uma esfera de raio a até o seu centro.

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Analisando a região dada no enunciado, temos uma esfera completa, com isso 0 <= varphi <= pi , 0 <= rho <= a e 0 <= theta <= 2 pi . Sabendo que a distância entre dois pontos é dada pela fórmula:

d = sqrt((x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 + (z - z_c)^2)

Como o ponto de interesse é o centro da esfera ( 0,0 , 0 ) , então a equação se reduz à:

d = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

E, usando as relações de transformação para coordenadas esféricas, podemos escrever como:

d = rho

Passo 2

A distância média será dada pelo valor da integral com relação a distância dividido pelo volume da esfera, que é dado por:

V = (4)/(3) pi a^3

Logo, a distância média pode ser escrita como:

overset(-)(D) = (1)/((4)/(3) pi a^3) int_0^(pi) int_0^(2 pi) int_0^a ( rho ) rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi = (1)/((4)/(3) pi a^3) int_0^(pi) int_0^(2 pi) int_0^a rho^3 s e n varphi d rho d theta d varphi

Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:

(3)/(4 pi a^3) int_0^(pi) s e n varphi d varphi int_0^(2 pi) d theta int_0^a rho^3 d rho

Passo 3

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

(3)/(4 pi a^3) [- cos varphi]_0^(pi) [theta]_0^(2 pi) [(1)/(4) rho^4]_0^a

(3)/(4 pi a^3) [- (- 1) - ( - 1 )] [2 pi - 0] [(1)/(4) (a)^4 - (1)/(4) (0)^4] = (3)/(4 pi a^3) [2] (2 pi) ((1)/(4) a^4)

Sendo assim, temos que:

overset(-)(D) = (3)/(4) a

Resposta

overset(-)(D) = (3)/(4) a

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