Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Encontre o volume do sólido que fica dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 , acima do plano x y e abaixo do cone z = sqrt(x^2 + y^2) .

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Analisando a região dada no enunciado, através da esfera temos que 0 <= rho <= 2 , a condição imposta pelo plano x y impõe que varphi <= pi // 2 , e por fim, o cone impõe o limite de que varphi >= pi // 4 . Não temos nenhuma restição para theta , logo 0 <= theta <= 2 pi . Dessa forma, podemos escrever a integral representando o volume do sólido como:

V = int_(pi // 4)^(pi // 2) int_0^(2 pi) int_0^2 rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi

Passo 2

Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:

int_(pi // 4)^(pi // 2) s e n varphi d varphi int_0^(2 pi) d theta int_0^2 rho^2 d rho

Passo 3

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

[- cos varphi]_(pi // 4)^(pi // 2) [theta]_0^(2 pi) [(1)/(3) rho^3]_0^2

[- 0 + (sqrt(2))/(2)] [2 pi - 0] [(1)/(3) (2)^3 - (1)/(3) (0)^3] = ((sqrt(2))/(2)) (2 pi) ((1)/(3) 8)

Sendo assim, temos que:

V = (8 sqrt(2))/(3) pi

Resposta

V = (8 sqrt(2))/(3) pi

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