Enunciado

Determine, se existirem, os valores de x ∈ D f , nos quais a função f x não é contínua.

f x = 1 + cos ⁡ x 3 + sen ⁡ x

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. lim x → a ⁡ f x existe;
  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Vamos então ver se uma dessas três condições não é aceita, se não for, achamos o valor de x em que a função não é contínua.

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no denominador, local onde pode haver uma descontinuidade:

3 + sen ⁡ x ≠ 0 para todo x ∈ - ∞ , + ∞

E temos que:

f a = 1 + cos ⁡ a 3 + sen ⁡ a

Então ela não tem pontos onde não é definida.

Passo 3

Vamos agora ver se o lim x → a ⁡ f x existe:

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ 1 + cos ⁡ x 3 + sen ⁡ x   = 1 + cos ⁡ a 3 + sen ⁡ a

Então pronto, ele existe, passa pela segunda condição.

Passo 4

Vamos agora ver a terceira condição:

lim x → a ⁡ f x = 1 + cos ⁡ a 3 + sen ⁡ a = f a = 1 + cos ⁡ a 3 + sen ⁡ a

Passou pela terceira condição, então f x não tem pontos onde não é contínua.

Resposta

f x não tem pontos onde não é contínua

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