Enunciado

Determine as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f e estabeleça os domínios das compostas.

f x = x 2

g x = 1 - x

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar isso aqui:

f ∘ g x = f g ( x )

Dessa forma, o domínio da composição f g ( x ) consiste em todo x no domínio de g com o qual g ( x ) está no domínio de f . Como assim?

Vamos ver o domínio de g e o de f , depois, vamos ver quais os valores do domínio de g que fazem g ( x ) se encaixar no domínio de f . Vai ficar melhor na prática!

Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

f x = x 2

Temos nenhuma restrição aqui! x pode assumir qualquer valor dentro dos reais!! Assim, o domínio de f é:

- ∞ ,   + ∞

E:

g x = 1 - x

A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então:

1 - x ≥ 0

x ≤ 1

Logo, o domínio de g é:

( - ∞ , 1 ]

Passo 3

Primeiro, faremos f ∘ g .

Vamos colocar g dentro de f !! É só substituir o x de f pela função g ( x ) :

f ∘ g = 1 - x 2

f ∘ g = 1 - x

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de g que tornam g um valor dentro do domínio de f .

Bem, como g é uma função com raiz quadrada, qualquer valor que g assume será um número maior ou igual a 0 !

Agora, olhando para o domínio de f , que são todos os números reais (positivos e negativos). Logo, um número maior ou igual a 0 (que g poderia assumir) está dentro desse intervalo de f né? Sem problemas! Dessa forma, o domínio da composição será o próprio domínio de g , pois todos os valores que g assume estão no domínio de f :

( - ∞ , 1 ]

Passo 4

Agora, faremos g ∘ f .

Vamos colocar f dentro de g !! É só substituir o x de g pela função f ( x ) :

g ∘ f = 1 - x 2

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de f que tornam f um valor dentro do domínio de g .

Já vimos que o domínio de f consiste em todos os números reais (positivos e negativos), certo? Qualquer valor que f assume nesse intervalo será ou um número positivo ou negativo, também!

Agora, olhando para o domínio de g , que são os números igual ou menores que 1 , apenas. Logo, qualquer número menor ou igual a 1 (que f poderia assumir) está dentro desse intervalo de g né? Sem problemas! MAAAASS f também pode assumir valores maiores que 1 , que não estão no domínio de g !

Olhando para f x = x 2 , queremos que ela seja menor ou igual a 1 , então! Assim:

x 2 ≤ 1

x ≤ ± 1

Ou seja:

x ≤ 1

Ou

x ≥ - 1

Dessa forma, x está entre - 1 e 1 . Pois, assim, f x ≤ 1 .

Dessa forma, o domínio da composição será:

[ - 1,1 ]

Resposta

f ∘ g = 1 - x ; ( - ∞ , 1 ]

g ∘ f = 1 - x 2 ; [ - 1,1 ]

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