Enunciado

Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

g x = 8 - 4 x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a função é biunívoca, isto é, se ela é injetora. Para que uma função seja inteira, diferentes valores de x devem dar, necessariamente, em diferentes valores de g ( x ) . Assim, devemos ter

s e   x 1 ≠ x 2 ⇒ g x 1 ≠ g ( x 2 )

Neste exercício temos g x = 8 - 4 x , cujo gráfico é uma reta decrescente. Como g é estritamente decrescente, temos que ela é biunívoca!

Vamos mostrar isso rigorosamente agora. Sejam a e b dois números no domínio de g tais que g a = g ( b ) Assim,

8 - 4 a = 8 - 4 b ⇒ a = b

Desta forma, vemos que a única forma de g a = g ( b ) é se a = b . Assim, não existem a e b com a ≠ b tais que g a = g ( b ) . Essa é exatamente a condição necessária para que a função seja injetora!

Passo 2

O gráfico de g é dado a seguir:

Note que a função passa pelo teste da reta horizontal em todos os pontos!

Resposta

É biunívoca.

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Seja y=f(x) e x = f - 1 y , verifique qued x d y = 1 d y d x f x = x + 1 1 2
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Seja y=f(x) e x = f - 1 y , verifique qued x d y = 1 d y d x f x = x 1 5
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