Enunciado

Use um recurso gráfico para fazer estimativas grosseiras dos intervalos nos quais f ' ( x ) > 0 e os encontre exatamente por diferenciação.

f x = x 3 - 3 x

Passo 1

Primeiro ele pede pra gente usar recursos gráficos, então vamos atender o pedido né?

O gráfico desse cara é:

Bom, o que caracteriza a derivada da função em um ponto ser maior que zero? Se isso acontece, quer dizer que a função é crescente naquele ponto. Olhando pra esse gráfico, a gente pode perceber que a função vem crescendo até, mais ou menos, x = - 1 , onde a derivada é zero (reta tangente horizontal). Depois disso, ela começa a decrescer, passando pela origem e indo até x = 1 , mais ou menos, onde a derivada dela é zero de novo (mais uma reta tangente horizontal). Logo depois ela volta a crescer ao infinito e além! Sabendo disso, podemos dizer que:

A função possui f ' x > 0 em ( - ∞ ; - 1 ) e em ( 1 ; + ∞ ) .

Os intervalos são abertos no - 1 e 1 porque a derivada ali não é negativa, mas também não é positiva: é zero! Beleza?

Passo 2

Como a gente consegue mostrar isso com diferenciação? Primeiro, vamos calcular a derivada dessa função:

f x = x 3 - 3 x

f ' x = 3 x 2 - 3

Cara, queremos o intervalo em que essa derivada é positiva, certo? Então:

f ' x = 3 x 2 - 3 > 0

3 x 2 - 3 > 0 → 3 x 2 > 3

x 2 > 1

Resolvendo essa inequação:

Supondo x positivo:

x > 1

Supondo x negativo:

- x > 1 → x < - 1

Opa, se o x tem que ser maior que 1 e menor que - 1 , ele é qualquer número fora do intervalo entre - 1 e 1 . Logo, agora podemos dizer com certeza, pois calculamos de fato isso, que:

A função possui f ' x > 0 em ( - ∞ ; - 1 ) e em ( 1 ; + ∞ ) .

Resposta

A função possui f ' x > 0 em ( - ∞ ; - 1 ) e em ( 1 ; + ∞ ) .

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Calcule g ' x sendo g dada por g x = x 100
Calcule g ' x sendo g dada por g x = x
Calcule g ' x sendo g dada por g x = x 4
Calcule g ' x sendo g dada por g x = 1 x
Seja r a reta que é tangente ao gráfico de f x = 1 x no ponto de abscissa p . Verifique que r intercepta o eixo x no ponto de abscissa 2 p .