Enunciado

Determine se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas.

g x = x x 2 + 1

Passo 1

Da definição, sabemos que uma função par é uma que seja espelhada no eixo y , como uma parábola. E uma função ímpar é uma função também espelhada, porém invertida. A rigor podemos definir uma função par como uma função que satisfaz:

f x = f ( - x )

E uma função é dita ímpar se ela satisfaz:

f - x = - f ( x )

Se a função não satisfizer nenhuma das duas condições ela não é par nem ímpar! Vamos checar para cada caso para a função acima.

Nesse caso podemos usar um macete pra determinar a simetria da função, se liga:

Se temos duas funções que têm paridade conhecida e multiplicamos ambas, o resultado vai seguir uma regrinha bem de boas, assim ó:

Pense como se fosse uma tabela de sinal de multiplicação, só que ao invés de termos + e - , temos p a r e í m p a r respectivamente. Isso é muito útil nesses casos que temos duas funções tipo f x h x , basta visualizarmos isso como f x ∙ 1 h x e daí usar a tabelinha daí de cima ;)

Passo 2

É fácil ver que a função | x | é par, já que o sinal negativo não muda nada dentro do módulo:

x = - x

Ela vai ser a nossa f ( x ) do passo 1.

Passo 3

Então já sabemos que a primeira das nossas 2 funções é par, só nos resta analisar a outra.

Perceba que se fizemos f x = x , a nossa h x = x 2 + 1 . Vamos verificar a paridade de 1 h x

1 h - x = 1 - x 2 + 1 = 1 x 2 + 1 = 1 h x

Então a nossa função também é par! Daí vamos usar nossa tabelinha:

p a r ∙ p a r = p a r

Então a nossa função resultante é par!

Resposta

Par

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Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Se f for par ou ímpar, use a simetria para esboçar seu gráfico. f x = x 2 + x
Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Se f for par ou ímpar, use a simetria para esboçar seu gráfico. f x = x - 3
Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Se f for par ou ímpar, use a simetria para esboçar seu gráfico. f x = x 3 - x
Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Se f for par ou ímpar, use a simetria para esboçar seu gráfico. f x = x - 2
Calcule a integral definida, se ela existir. ∫ - a a x ⋅ x 2 + a 2 d x