Enunciado

Determine uma função z = f ( x , y ) tal que ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y e cujo gráfico passe pelos pontos 1,1 , 3 , ( 0,0 , 1 ) e ( 0,1 , 2 ) .

Passo 1

A questão pede para acharmos uma função z = f x , y tal que

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y ,

e que passe pelos pontos 1,1 , 3 , ( 0,0 , 1 ) e ( 0,1 , 2 ) .

O primeiro passo é achar quais tipos de função satisfazem a relação

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y ⇒ ∂ f ∂ x - ∂ f ∂ y = 0

A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:

1 ,   - 1 ⋅ ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = 0

Ou ainda,

1 ,   - 1 ⋅ ∇ f = 0

Passo 2

Como o gradiente de f é perpendicular às curvas de nível para todo ( x , y ) no domínio de f e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor ( 1 , - 1 ) , temos que, em todos os pontos, o vetor ( 1 , - 1 ) é tangente às curvas de nível.

Desta forma, como o vetor tangente às curvas de nível é constante, essas curvas são retas cujo vetor diretor é ( 1 , - 1 ) .

Desta forma, temos que

f x , y = c ⇒ a x + b y = k

Como o vetor diretor é ( 1 , - 1 ) , o coeficiente angular dessas retas é

m = - 1 1 = - a b ⇒ b = a

Portanto,

a x + a y = k ⇒ x + y = k a

Passo 3

Temos então que as curvas de nível de f são retas paralelas cujas equações são

x + y - k a = 0

Assim, as soluções da equação diferencial parcial são funções de duas variáveis que assumem sempre o mesmo valor sobre as retas dadas pela equação acima, que é do tipo x + y = c o n s t a n t e . Portanto, a função procurada é do tipo

z = f x , y = g x + y ,

onde g é uma função derivável de uma variável.

Passo 4

Como queremos que a função passe por 3 pontos, o caso mais simples que podemos pensar é

g u = a u 2 + b u + c

De modo que

z = f x , y = a x + y 2 + b x + y + c

Substituindo os pontos 1,1 , 3 , ( 0,0 , 1 ) e ( 0,1 , 2 ) :

4 a + 2 b + c = 3 c = 1 a + b + c = 2

Assim, da segunda equação já temos c = 1 . Substituindo isso nas outras duas:

4 a + 2 b = 2 a + b = 1

Portanto, da segunda equação tiramos

b = 1 - a

Substituindo na primeira:

4 a + 2 1 - a = 2 ⇒ 2 a + 2 = 2 ⇒ a = 0 ⇒ b = 1

Assim, uma das respostas possíveis para a função procurada é

z = f x , y = x + y + 1

Note que

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 1

Resposta

f x , y = x + y + 1

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