Enunciado

Determine uma reta que seja tangente à elipse 2 x 2 + y 2 = 3 e paralela à reta 2 x + y = 5 .

Passo 1

A questão pede a reta tangente à curva 2 x 2 + y 2 = 3 e que seja paralela à reta 2 x + y = 5 .

Como a reta que queremos deve ser paralela à reta 2 x + y = 5 , elas devem ter o mesmo coeficiente angular que será

m = - 2

Derivando implicitamente à curva:

4 x + 2 y ⋅ y ' = 0 ⇒ y ' = - 2 x y

Passo 2

Queremos achar o ponto ( x 0 , y 0 ) de tangência na curva 2 x 2 + y 2 = 3 . Neste ponto, a derivada da curva deve ser igual a - 2 para que a reta tangente seja paralela à reta 2 x + y = 5 . Assim:

- 2 x 0 y 0 = - 2 ⇒ y 0 = x 0

Substituindo isso na equação da curva:

2 x 0 2 + x 0 2 = 3 ⇒ x 0 1 = 1 ⇒ x 0 = y 0 = ± 1

Assim, os pontos de tangência serão - 1 , - 1 e ( 1,1 ) e a inclinação da reta será - 2 . Como temos dois pontos de tangência, teremos duas retas!

Passo 3

As retas serão dadas por

y - 1 = - 2 x - 1         e           y + 1 = - 2 ( x + 1 )

Assim, teremos

y = - 2 x + 3         e           y = - 2 x - 3

Resposta

y = - 2 x + 3         e           y = - 2 x - 3

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