Enunciado

Determine uma curva γ t = x t ,   y t que passe pelo ponto γ 0 = ( 1,2 ) e que intercepte ortogonalmente as curvas da família x 2 + 2 y 2 = c .

Passo 1

A questão pede para acharmos uma curva que passe pelo ponto ( 1,2 ) e que intercepte ortogonalmente as curvas x 2 + 2 y 2 = c . Para isso, vamos considerar a função

f x , y = x 2 + 2 y 2

Vamos calcular o gradiente de f :

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x , 4 y )

Já o vetor tangente à curva é dado por:

γ ' t = x ' t ,   y ' t

Passo 2

Como o gradiente de f é perpendicular às curvas de nível da função e a curva que queremos achar deve ser ortogonal a essas mesmas curvas de nível, vamos impor:

γ ' t = ∇ f

Assim,

x ' t ,   y ' t = ( 2 x ,   4 y )

Caímos então em duas equações diferenciais:

d x d t = 2 x       e       d y d t = 4 y

Essas duas equações são simples e suas soluções são:

x ( t ) = A e 2 t         e           y ( t ) = B e 4 t

Passo 3

Agora vamos usar a condição que a curva deve passar pelo ponto ( 1,2 ) . Vamos fazer

γ 0 = 1,2

Assim,

x 0 = 1           e           y 0 = 2

Desta forma, tiramos que

A = 1           e           B = 2

Portanto,

γ t = e 2 t ,   2 e 4 t

Resposta

γ t = e 2 t ,   2 e 4 t

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