5. Determine a função y = y(x), x ∈ R, tal que:

b)

dy/dx = x^3 - x + 1 e y(1) = 1

Passo 1

Olá, pessoal! Nessa questão, o enunciado forneceu a seguinte derivada de y em relação a x :

d y d x = x 3 - x + 1

E ele perguntou quem é y ( x ) . Para eu resolver isso, eu tenho que fazer a operação inversa da derivada, ou seja, integrar.

Logo,

y = ∫ x 3 - x + 1 d x

Agora vamos integrar!

Passo 2

Temos essa integral para resolver,

y = ∫ x 3 - x + 1 d x

Repara que é a integral de um polinômio, então podemosar usar essa relação aqui,

∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + C ,   p a r a   n ≠ - 1  

Onde, n é o expoente do polinômio.

Substituindo, temos que

∫ x 3 - x + 1 d x = x 3 + 1 3 + 1 - x 1 + 1 1 + 1 + x 0 + 1 0 + 1 + C

Arrumando essas contas, temos:

y ( x ) = x 4 4 - x 2 2 + x + C

Agora só falta a gente descobrir quem é o nosso C .

Passo 3

Por fim, vamos usar aquela outra relação do enunciado para achar a constante C .

y 1 = 1

Como y ( x ) = x 4 4 - x 2 2 + x + C :

y 1 = 1 4 4 - 1 2 2 + 1 + C = 1

Assim,

C = 1 4

Agora é só reescrever nossa função 😊

y ( x ) = x 4 4 - x 2 2 + x + 1 4

Resposta

y ( x ) = x 4 4 - x 2 2 + x + 1 4

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