Determine o jacobiano da transformação.

x = e^(u-v), y = e^(u+v), z = e^(u+v+w)

Passo 1

O jacobiano é o determinante de uma matriz de derivadas parciais. Como estamos fazendo uma transformação no plano, então, o jacobiano será o determinante da seguinte matriz:

J u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w

Sendo assim, precisamos determinar as derivadas parciais tanto de x quanto de y em relação as nossas novas variáveis u e v !

Passo 2

Vamos começar determinando as derivadas parciais. Para x , temos:

∂ x ∂ u = e u - v

∂ x ∂ v = - e u - v

∂ x ∂ w = 0

Já para y , temos:

∂ y ∂ u = e u + v

∂ y ∂ v = e u + v

∂ y ∂ w = 0

Por fim, para z , temos:

∂ z ∂ x = e u + v + w

∂ z ∂ y = e u + v + w

∂ z ∂ w = e u + v + w

Portanto,

J u , v = e u - v - e u - v 0 e u + v e u + v 0 e u + v + w e u + v + w e u + v + w = e u + v + w ⋅ e u - v - e u - v e u + v e u + v

J u , v = e u + v + w ⋅ e 2 u + e 2 u

J u , v = e u + v + w ⋅ 2 ⋅ e 2 u

J u , v = 2 ⋅ e 3 u + v + w

Pronto, este é o jacobiano da nossa transformação!

Resposta

J u , v = 2 ⋅ e 3 u + v + w

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