Determine o jacobiano da transformação.

x = u^2 - v^2, y = u^2 + v^2

Passo 1

O jacobiano é o determinante de uma matriz de derivadas parciais. Como estamos fazendo uma transformação no plano, então, o jacobiano será o determinante da seguinte matriz:

J u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Sendo assim, precisamos determinar as derivadas parciais tanto de x quanto de y em relação as nossas novas variáveis u e v !

Passo 2

Vamos começar determinando as derivadas parciais. Para x , temos:

∂ x ∂ u = 2 u

∂ x ∂ v = - 2 v

Já para y , temos:

∂ y ∂ u = 2 u

∂ y ∂ v = 2 v

Portanto,

J u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 2 u - 2 v 2 u 2 v = 4 u v + 4 u v = 8 u v

Pronto, este é o jacobiano da nossa transformação!

Resposta

J u , v = 8 u v

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