Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função.

f x = sec ⁡ ( 20 π x )

Passo 1

Olá, amigo! Hoje vou te auxiliar a completar este exercício.

O exercício solicita que identifiquemos a janela retangular adequada para a função fornecida. Mas o que isso realmente significa?

Quando usamos uma calculadora gráfica ou um computador muito potente, a visualização do gráfico acontece dentro de um espaço retangular, não mostrando o gráfico inteiro. Esse espaço, onde o gráfico é exibido, é conhecido como janela de visualização, tela de observação ou janela retangular.

Então para construirmos uma janela retangular apropriada, deveremos assim como as calculadoras gráficas, encontrarmos a variação de x de X m i n = a até X m a x = b e os valores de y de Y m i n = c até Y m a x = d , e nossa parte visível do gráfico será o retângulo:

a , b   X   c , d = x , y   a ≤ x ≤ b ,   c ≤ y ≤ d

Que pode ser vista abaixo como:

Uma forma de encontrarmos a janela retangular é analisarmos o domínio e a imagem da função. E a partir daí encontrarmos os valores a , b , c   e   d . E é isso que iremos fazer aqui.

Passo 2

Temos então a função

sec ⁡ 20 π x

Podemos reescrever essa função como

1 cos ⁡ 20 π x

Uma forma de encontrarmos a janela retangular é analisarmos o domínio e a imagem da função. Para essa função, vemos que o denominador não pode ser nulo, sendo assim:

cos ⁡ 20 π x ≠ 0

Uma função cos ⁡ u possui seus zeros em

u = π 2 + n π

Sendo n   pertencente aos números inteiros.

Então para a nossa função:

20 π x = π 2 + n π

Simplificando os π :

20 x = 1 2 + n

Dividindo por 20 :

x = 1 40 + n 20

x = 1 + 2 n 40

Sendo assim, o domínio de

f x = sec ⁡ ( 20 π x )

É

x ∈   R   |   x ≠ 1 + 2 n 40 ,   n   ∈ Z

Então já sabemos qual região é importante para o gráfico no que diz respeitos aos seus pontos de indefinição.

Vamos agora analisar o conjunto imagem da função, ele irá nos ajudar a definirmos os limitantes de y .

Ao analisar a função

1 cos ⁡ 20 π x

Note que

cos ⁡ 20 π x

É limitada no intervalo

- 1 ≤ cos ⁡ 20 π x ≤ 1

Isso faz com que o menor valor positivos e negativos, respectivamente sejam 1 , - 1 , mas sem limitações superiores. Sendo assim, o conjunto imagem é

] - ∞ , - 1 ] ∪ [ 1 , ∞ [

Passo 3

Outro ponto importante para o gráfico é o período da função que nos foi dada. A função cos ⁡ x é periódica e tem seu período de 2 π . Isso quer dizer que a cada 2 π os valores da função cos ⁡ x irão se repetir.

Veja que, ao encontrarmos o período de cos ⁡ 20 π x também iremos encontrar um ponto importante sobre o qual poderemos melhor construirmos o gráfico da função.

cos ⁡ 20 π x é o resultado de contrair horizontalmente cos ⁡ x por um fator de (   20 π ) . O período de cos ⁡ 20 π x é P   = 2 π 20 π = 1 10 = 0.1 .

Como f possui um período de 0.1 , sugiro que podemos usar um intervalo para duas oscilações, que é - 0.1,0.1 . Temos então os pontos de indefinição da função que encontramos no passo 2, x ∈   R   |   x ≠ 1 + 2 n 40 ,   n   ∈ Z

E agora temos nosso limitante em x . Vamos aos gráficos.

Passo 4

Veja bem, agora iremos procurar de fato um trecho do gráfico que consiga melhor representar o gráfico que queremos. Iremos fazer isso a partir da análise que fizemos da janela retangular.

Para construção dos gráficos irei utilizar o GeoGebra, mas fique à vontade para utilizar o software de sua preferência.

Primeiro vamos visualizar com apenas uma oscilação, e para o limitante em y vamos utilizar [ - 3,3 ] , pois é um intervalo que conseguimos visualizar os pontos mínimos da nossa imagem.

Para a janela:

0,0.1   X   [ - 3,3 ]

Agora vamos visualizar com duas oscilações e ampliarmos a visualização em y .

Para a janela:

- 0.1,0.1   X   [ - 5,5 ]

Veja que no intervalo

- 0.1,0.1   X   [ - 5,5 ]

Podemos visualizar melhor o comportamento do gráfico da função, sendo assim esse será o escolhido.

Resposta

- 0.1,0.1   X   [ - 5,5 ]

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