Enunciado

O gráfico de uma função f está na figura abaixo. Esboce os gráficos das seguintes equações:

(a) y = f x + 1

(b) y = f ( 2 x )

(c) y = f x

(d) y = 1 - f x

Passo 1

Bem, nessa questão, nós vamos usar os princípios de translação, alongamento, compreensão e reflexão vistos nesse capítulo e que ficaram bem resumidos na tabela 0.2.2, 0.2.3 e 0.2.4.

Basicamente:

Se temos uma função, por exemplo, g x = x 2 e somamos uma constante positiva à função, por exemplo g x = x 2 + 1 , deslocamos o gráfico da função na quantidade equivalente ao valor da constante para cima (no nosso exemplo, deslocaríamos em 1 unidade para cima no eixo y ).

Se subtraímos uma constante à função ( g x = x 2 - 1 ), deslocamos o gráfico para baixo (no exemplo, seria 1 unidade para baixo no eixo y ).

Se somamos uma constante positiva ao x (ex.: g x = x + 1 2 ), deslocamos o gráfico para a esquerda (no exemplo, seria 1 unidade para a esquerda no eixo x ).

Se subtraímos uma constante positiva ao x (ex.: g x = x - 1 2 ), deslocamos o gráfico para a direita (no exemplo, seria 1 unidade para a direita no eixo x ).

Se multiplicamos a função por uma constante positiva maior que 1 , alongamos o gráfico no eixo vertical por um fator equivalente à constante.

Se multiplicamos a função por uma constante positiva entre 0 e 1 , comprimimos o gráfico no eixo vertical por um fator equivalente à constante.

Se multiplicamos x por uma constante positiva maior que 1 , comprimimos o gráfico no eixo horizontal por um fator equivalente à constante.

Se multiplicamos x por uma constante positiva entre 0 e 1 , alongamos o gráfico no eixo horizontal por um fator equivalente à constante.

Se substituímos x por - x , refletimos o gráfico pelo eixo y .

Se multiplicarmos a função por - 1 , refletimos o gráfico pelo eixo x .

Vamos usar esses conceitos para resolver essa questão!! Onde temos uma f ( x ) com gráfico:

Passo 2

(a) Se agora temos y = f x + 1 , estamos somando uma constante positiva ( 1 ) à função! E, pela ideia do passo 1, vamos deslocar o gráfico por 1 unidade para cima:

Passo 3

(b) Se agora temos y = f ( 2 x ) , estamos multiplicando x por uma constante positiva (2)! E, pela ideia do passo 1, vamos comprimir o gráfico pela metade no eixo x :

Então, todos os pontos do eixo x vão para os valores equivalentes as suas metades (exemplo: o 3 foi para 1,5).

Passo 4

(c) Se agora temos y = f x , vamos deixar todos os valores da função positivos! No caso dos que já são positivos, não precisamos mexer, mas os que eram negativos, vamos multiplicar por - 1 , ou seja, fazer - f ( x ) , para f ( x ) < 0 . E, repare que, para esses valores, teremos uma reflexão pelo x :

Olha a diferença em como a função era (em pontilhado) e como passou a ser tendo todos os valores positivos (linha contínua).

Vamos deixar o gráfico mais limpo agora, só com a resposta:

Passo 5

(d) Se agora temos y = 1 - f x , repare que temos o mesmo processo do módulo da letra anterior. Com isso, já sabemos que f x fica assim:

Agora, vamos multiplicando a função por - 1 ! E, pela ideia do passo 1, isso reflete o gráfico pelo eixo x :

Por último, vamos somar uma constante positiva (1) à função, deslocando o gráfico para cima em 1 unidade:

No final, ficou assim!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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