Enunciado

Determine o limite underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (x) = (1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3))) quando nos aproximamos de 1 pela esquerda, ou seja por valores menores que um.

Como estamos numa soma, podemos usar a regra da soma “O limite da soma é a somados limites”:

underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = underset(x -> 1^-)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) + underset(x -> 1^-)(l i m) (2)/((x - 1)^((2)/(3)))

Pela regra do quociente nas parcelas do limite, temos:

underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = underset(x -> 1^-)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) + underset(x -> 1^-)(l i m) (2)/((x - 1)^((2)/(3))) = (underset(x -> 1^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 1^-)(l i m) x^((2)/(3))) + (underset(x -> 1^-)(l i m) 2)/(underset(x -> 1^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3)))

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de x, então underset(x -> 1^-)(l i m) 2 = 2 , pelo mesmo motivo underset(x -> 1^-)(l i m) 1 = 1 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos :

(underset(x -> 1^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 1^-)(l i m) x^((2)/(3))) + (underset(x -> 1^-)(l i m) 2)/(underset(x -> 1^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3))) = (1)/(1) + (2)/(0)

Ps: Não escreve o (2)/(0) na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a oo . Vamos analisar o ‘sinal’ desse oo .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

underset(x -> 1^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3))

Como estamos próximo a zero pela esquerda, então estamos com valores negativos, mas

underset(x -> 1^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3)) = underset(x -> 1^-)(l i m) root(3)((x - 1)^2)

Por aquela paradinha: quem ta na sombra passa pro sol, quem tá no sol passa pra sombra.

Daí,

(2)/(0) = oo

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

1 + oo

Como oo é muito grande e só estamos adicionando 2 a ele. Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

1 + oo = oo

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = oo

Resposta

underset(x -> 1^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = oo

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