Enunciado

Determine o limite infinito.

lim x → ( π / 2 ) + �� 1 x sec ⁡ x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ 1 x sec ⁡ x

Ainda de acordo com o enunciado, o resultado desse limite é um número que tende ao infinito.

Mas qual infinito? Positivo ou negativo??

Para descobrirmos isso, teremos que estudar bem o nosso limite.

Como assim??

Bom... basicamente vamos ver o que acontece com o sinal do numerador e do denominador quando x → ( π / 2 ) + (quando x tende a π 2 pelos números maiores que ele).

Com os sinais de cada um, podemos definir o sinal geral do nosso limite!!

Ah, a gente pode fazer isso por conta da seguinte propriedade:

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ 1 x sec ⁡ x = lim x → ( π / 2 ) + ⁡ sec ⁡ x lim x → ( π / 2 ) + ⁡ x

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando primeiramente o numerador:

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ sec ⁡ x

Sabemos que a secante é o inverso do cosseno, ou seja:

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ sec ⁡ x = lim x → ( π / 2 ) + ⁡ 1 cos ⁡ x

Perceba que quando x → ( π / 2 ) + , o cosseno tende a zero pelo lado negativo da seguinte forma:

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ 1 cos ⁡ x = - ∞

Passo 3

Agora, analisando o denominador, temos:

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ x = π 2

Perceba que nosso limite tende a um número positivo e próximo de π 2 !!

Passo 4

Dessa forma, temos uma divisão de um número negativo por um positivo.

E uma divisão entre um número negativo e um positivo resulta em um número negativo, ou seja:

lim x → π 2 + ⁡ 1 x sec ⁡ x = lim x → π 2 + ⁡ sec ⁡ x lim x → π 2 + ⁡ x ∴

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ 1 x sec ⁡ x = - ∞ π 2 ∴

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ 1 x sec ⁡ x = - ∞

Passo 5

Podemos observar esse comportamento pelo gráfico de f x = 1 x sec ⁡ x :

Perceba que quando x → ( π / 2 ) + (em azul), a função (em verde) tende a - ∞ .

Resposta

lim x → ( π / 2 ) + ⁡ 1 x sec ⁡ x = - ∞

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Prove que o teorema 2.4 . 4 i i i :Se a for um número real qualquer e se lim x → a ⁡ f x = 0 e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante não nula, entãoSe c0 e se f x → 0 por valores positivos de f
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Prove que o teorema 2.4 . 4 i i :Se a for um número real qualquer e se lim x → a ⁡ f x = 0 e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante não nula, entãoSe c0 e se f x → 0 por valores negativos de f x
underset(x - - 2)(lim) (8)/(3 x + 2)