Enunciado

Determine o limite infinito.

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x - 5 )

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que mostrar que o limite

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x - 5 )

Tende a infinito.

Tem ideia de como fazemos isso?

Nesse caso, nossa função do limite é uma função logarítmica

f x = ln ⁡ x - 5

Portanto não temos muitas simplificações que podemos fazer para resolver esse problema...

Mas essa família de funções possui algumas características interessantes e podemos usá-las para obter o resultado.

Veja só!

Passo 2

Nesse caso, x tende a 5 pela direita, ou seja, tende a valores infinitesimalmente maiores que 5 .

Nós já vimos como é o comportamento da função y = ln ⁡ x , mas se não lembra, vamos refrescar a memória...

A função ln ⁡ x tende a - ∞ quando x se aproxima de 0 , a função não está definida para x ≤ 0 , em x = 1 , y = 0 e em x = e , y = 1 .

Dessa forma, podemos expressar o gráfico da função como.

Mas você pode estar se perguntando: “como isso vai me ajudar?”

Nós respondemos: vamos analisar o comportamento do conteúdo x - 5 do l n e verificar o que acontece no gráfico de ln ⁡ x ...

Bacana?

Passo 3

No limite, x tende a 5 mas sempre maior que 5 .

Isso significa que o conteúdo do l n é simplificado por

ln ⁡ x - 5 x = 5 → ln ⁡ 0

Mas o que acontece no gráfico de ln ⁡ x quando x se aproxima de 0 pela direita?

y tende a - ∞ , não é?

Isso pode ser trazido para o nosso limite

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x - 5 )

Quando x tende a 5 (pela direita), o conteúdo do l n tende a 0 e quando o conteúdo tende a 0 positivamente, l n tende a - ∞ , logo

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x - 5 ) = - ∞

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

lim x → 5 + ⁡ ln ⁡ ( x - 5 ) = - ∞

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