lim x → 0 + ⁡ ( x 2 2 - 1 x )

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x > 0 .

Como temos uma subtração de divisões, vamos deixar todo mundo com o mesmo denominador, ou seja, fazer o mmc, talquei?!

lim x → 0 + ⁡ ( x 2 2 - 1 x ) =   lim x → 0 + ⁡ ( x 3 - 2 2 x )

Passo 2

Vamos para as contas!

Perceba que se aplicarmos o limite e usarmos o limite do quociente é o quociente dos limites,

lim x → 0 + ⁡ ( x 3 - 2 2 x ) =     ⁡ l i m x → 0 + ( x 3 - 2 ) l i m x → 0 + 2 x

Passo 3

Usando que o limite da subtração é a subtração dos limites, temos

  ⁡ l i m x → 0 + ( x 3 - 2 ) l i m x → 0 + 2 x =     ⁡ l i m x → 0 + x 3 -   l i m x → 0 + 2 l i m x → 0 + 2 x

Passo 4

Se fuçarmos a memória, vamos lembrar que l i m x → 0 + 2 = 2 , porque não dependem de x.

Substituindo essa bagaça,

  ⁡ l i m x → 0 + ( x 3 - 2 ) l i m x → 0 + 2 x =     ⁡ l i m x → 0 + x 3 -   l i m x → 0 + 2 l i m x → 0 + 2 x =   0   -   2 l i m x → 0 + 2 x  

Perceba que o denominador se anula quando aplicamos o limite, ou seja, nosso limite tende à .

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Passo 5

Como se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x > 0 , o numerador assume valores positivos, já no denominador ficaríamos com 2 > 0 multiplicado por um número negativo. Ou seja,

p o s i t i v o p o s i t i v o ⋅ n e g a t i v o = p o s i t i v o n e g a t i v o = n e g a t i v o

Logo,

lim x → 0 + ⁡ x 2 2 - 1 x =   lim x → 0 + ⁡ x 3 - 2 2 x =   - ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x 2 2 - 1 x =   - ∞

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