Encontre o limite

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x 3 x 2 + 7 5

Passo 1

Opa, tudo certinho aí?

Bem primeiro de tudo vamos olhar para o nosso limite. Se tendermos x para - ∞ em cima e em baixo vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , não é mesmo? Então temos que fazer umas manipulações ninjas pra poder fazer esse limite, beleza?

Ainda tem essa potência de 5 que parece que vai nos atrapalhar, mas vamos olhar primeiro pra essa fração aí, beleza? Se o limite dentro dessa potência, basta elevar a 5. Se for 0 , não muda nada haha e se for + ∞ também não muda nada e se for - ∞ também não muda (por que 5 é impar. Se fosse expoente par seria + ∞ ). Então ela tá aí só pra assustar, beleza?

Passo 2

Como em cima temos polinômios, o que vamos fazer é dividir em cima e em baixo por x 3 (maior grau!). Vai ficar assim:

1 - x 3 x 2 + 7 = 1 - x 3 1 x 3 x 2 + 7 1 x 3 = 1 x 3 - 1 1 x + 7 x 3

Agora podemos voltar pro nosso limite

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x 3 x 2 + 7 5 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x 3 - 1 1 x + 7 x 3 5

Aí, acontece o seguinte: todos esses termos de 1 / x n vão pra 0 quando x vai pra - ∞ , então o limite fica

0 - 1 0 + 0 5

Opa! Agora temos um número não nulo sendo dividido por 0 ! Isso significa que o limite dentro da potência vai para - ∞ , isso por que o numerador dessa fração é negativo.

E essa potência faz o que? Como um número negativo elevado a um número impar continua sendo negativo, então o limite continua sendo - ∞ . Se liga que se essa potência fosse um número par o limite seria + ∞ , show?

Então concluindo o nosso limite será

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x 3 x 2 + 7 5 = - ∞

Vamos pra próxima? :D

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x 3 x 2 + 7 5 = - ∞

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