Determine o limite lim θ → 0 ⁡ 2 - cot ⁡ θ

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f x =     ⁡ 2 - cot ⁡ θ   . Então vamos analisar quando nos aproximamos de 0 pela direita e pela esquerda, ou seja por valores positivos e negativos.

Bora lá, então!

Passo 2

lim θ → 0 + ⁡ 2 - cot ⁡ θ

Usando o limite da subtração é a subtração dos limites,

lim θ → 0 + ⁡ 2 - cot ⁡ θ =   lim θ → 0 + ⁡   2 - lim θ → 0 + cot ⁡ θ  

Como 2 não depende de x , lim θ → 0 + ⁡   2 = 2  

lim θ → 0 + ⁡   2 - lim θ → 0 + cot ⁡ θ =   2   ⁡ - lim θ → 0 + cot ⁡ θ  

Lembre de uma parada:   c o t θ = c o s θ s e n θ . Então,

2   ⁡ - lim θ → 0 + cot ⁡ θ   = 2 - lim θ → 0 + cot ⁡ θ   = 2 - l i m θ → 0 +   c o s θ     s e n θ

Pela regra do quociente: o limite do quociente é o quociente dos limites,

2 - lim θ → 0 + cot ⁡ θ   = 2 - l i m θ → 0 +   c o s θ     s e n θ = 2 -   l i m θ → 0 + c o s θ     l i m θ → 0 + s e n θ = 2 - c o s 0 s e n 0  

Perceba na fração, o denominador não se anula enquanto o numerador é não nulo, então nosso limite vai para ∞ .

Passo 3

Vamos analisar se o limite 2 - lim θ → 0 + cot ⁡ θ   será ou - ∞ .

Perceba que s e n θ   trabalha assim: s e n - θ =   - s e n θ , ou seja, s e n θ é uma função ímpar. Mas como estamos em 0 + , θ assume apenas valores positivos. Então

2 - lim θ → 0 + cot ⁡ θ   = 2 - ∞

Ps: Não escreva 2 - ∞   na sua prova senão seu professor vai te cortar a questão, isso foi feito só pra você entender, apenas escreva que :

2 - lim θ → 0 + cot ⁡ θ   = - ∞

Logo,

lim θ → 0 + ⁡ 2 - cot ⁡ θ = - ∞

Passo 4

Vamos agora calcular lim θ → 0 - ⁡ 2 - cot ⁡ θ .

Perceba que aqui vai ser o contrário do que fizemos no limite anterior, já que θ assume valores negativos .

Então,

lim θ → 0 - ⁡ 2 - cot ⁡ θ = ∞

Passo 5

Vimos que os limites explodem para e - ∞ , à mendida que se aproximam de θ pela direita e pela esquerda. Então, nosso limite não existe.

Resposta

lim θ → 0 ⁡ 2 - cot ⁡ θ não existe

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados