Enunciado

Determine o limite underset(theta -> 0)(lim) (2 - cot (theta))

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (x) = (2 - cot (theta)) . Então vamos analisar quando nos aproximamos de 0 pela direita e pela esquerda, ou seja por valores positivos e negativos.

Bora lá, então!

Passo 2

underset(theta -> 0^+)(lim) (2 - cot (theta))

Usando o limite da subtração é a subtração dos limites,

underset(theta -> 0^+)(lim) (2 - cot (theta)) = underset(theta -> 0^+)(lim) 2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta)

Como 2 não depende de x , underset(theta -> 0^+)(lim) 2 = 2

underset(theta -> 0^+)(lim) 2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta) = 2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta)

Lembre de uma parada: c o t theta = (c o s theta)/(s e n theta) . Então,

2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta) = 2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta) = 2 - underset(theta -> 0^+)(l i m) (c o s theta)/(s e n theta)

Pela regra do quociente: o limite do quociente é o quociente dos limites,

2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta) = 2 - (underset(theta -> 0^+)(l i m) (c o s theta)/(s e n theta)) = 2 - ((underset(theta -> 0^+)(l i m) c o s theta)/(underset(theta -> 0^+)(l i m) s e n theta)) = 2 - (c o s 0)/(s e n 0)

Perceba na fração, o denominador não se anula enquanto o numerador é não nulo, então nosso limite vai para oo .

Passo 3

Vamos analisar se o limite 2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta) será oo ou - oo .

Perceba que s e n theta trabalha assim: s e n (- theta) = - s e n theta , ou seja, s e n theta é uma função ímpar. Mas como estamos em 0^+ , theta assume apenas valores positivos. Então

2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta) = 2 - oo

Ps: Não escreva 2 - oo na sua prova senão seu professor vai te cortar a questão, isso foi feito só pra você entender, apenas escreva que :

2 - underset(theta -> 0^+)(lim) cot (theta) = - oo

Logo,

underset(theta -> 0^+)(lim) (2 - cot (theta)) = - oo

Passo 4

Vamos agora calcular underset(theta -> 0^-)(lim) (2 - cot (theta)) .

Perceba que aqui vai ser o contrário do que fizemos no limite anterior, já que theta assume valores negativos .

Então,

underset(theta -> 0^-)(lim) (2 - cot (theta)) = oo

Passo 5

Vimos que os limites explodem para oo e - oo , à mendida que se aproximam de theta pela direita e pela esquerda. Então, nosso limite não existe.

Resposta

underset(theta -> 0)(lim) (2 - cot (theta)) não existe

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