Para cada uma das seguintes funções ache

lim x → 2 ⁡ f x - f 2 x - 2

d)

f(x) = 3x^2 + 5x - 1

Passo 1

A expressão que ele nos pede para calcular é a seguinte:

L = lim x → 2 ⁡ f x - f 2 x - 2

Como f x = 3 x 2 + 5 x - 1 , então vamos dar uma olhada de como fica o f 2 :

f 2 = 3 ⋅ 2 2 + 5 ⋅ 2 - 1

Assim,

f 2 = 21

Passo 2

Voltando para o limite e substituindo os dados que temos:

L = lim x → 2 ⁡ 3 x 2 + 5 x - 1 - 21 x - 2

Logo,

L = lim x → 2 ⁡ 3 x 2 + 5 x - 22 x - 2

Repare que se fizermos x = 2 vamos chegar numa indeterminação. Olha só:

L = 12 + 10 - 22 0 = 0 0

Como chegamos numa indeterminação, vamos tentar fatorar o numerador.

Passo 3

Para fatorar, bora resolver a equação do segundo grau 3 x 2 + 5 x - 22

x = - 5 ± 5 2 - 4 ⋅ - 22 ⋅ 3 2 ⋅ 3

Fazendo as contas

x = - 5 ± 17 6

Isto,

x = 2 ou x = - 11 3

Fatorando:

3 x 2 + 5 x - 22 = 3 x - 2 x + 11 3

Voltando para o limite:

L = lim x → 2 ⁡ 3 x - 2 x + 11 3 x - 2

Cortando o x - 2 :

L = lim x → 2 ⁡ 3 x + 11 3

Pra finalizar, basta fazer x = 2 que é sucesso!

L = 3 ⋅ 2 + 11 3 = 17

Resposta

L = 17

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