Enunciado

A fronteira de uma lâmina consiste nos semicírculos y = 1 - x 2 e y = 4 - x 2 juntamente com as partes do eixo x que os une. Encontre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem.

Passo 1

Galera, conforme o exercício nos descreve, a lâmina deve ser assim:

Além disso, a densidade deve ser ρ r ,   θ = c   r

Podemos calcular a massa então:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 π ∫ 1 2 c   r   r   d r   d θ = ∫ 0 π d θ ∫ 1 2 c   r 2 d r = θ 0 π c r 3 3 1 2 = π - 0 c 3 8 - 1 = 7 π c 3  

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 1 2 ( r cos ⁡ θ ) ( c   r )   r   d r   d θ = ∫ 0 π cos ⁡ θ   d θ ∫ 1 2 c   r 3 d r = s e n   θ 0 π c r 4 4 1 2 = 0 - 0 c 4 16 - 1 = 0

x - = M y m = 0 7 π c 3 = 0

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 1 2 r   s e n   θ c   r   r   d r   d θ = ∫ 0 π s e n   θ   d θ ∫ 1 2 c   r 3 d r = - cos ⁡ θ 0 π c r 4 4 1 2 = 1 + 1 c 4 16 - 1 = 15 c 2

y - = M x m = 15 c 2 7 π c 3 = 45 14 π

Então,

x ,   - y - = 0 , 45 14 π

Resposta

x ,   - y - = 0 , 45 14 π

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