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Determine o centro de massa da lâmina do Exercício 11 se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.

Passo 1

Galera, o Exercício 11 nos diz que a lâmina ocupa somente o primeiro quadrante do disco x 2 + y 2 ≤ 1 , então teremos 0 ≤ r ≤ 1   ,   0 ≤ θ ≤ π 2 . E agora, a densidade é proporcional ao quadrado da distância até a origem, ou seja, ρ x ,   y = c ( x 2 + y 2 ) ou ρ r ,   θ = c   r 2 .

Podemos calcular a massa então:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 c   r 2   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 2 d θ ∫ 0 1 c   r 3 d r = θ 0 π / 2 c r 4 4 0 1 = π 2 - 0 c 4 1 - 0 = c π 8  

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 r cos ⁡ θ ( c   r 2 )   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ d θ ∫ 0 1 c   r 4 d r = s e n   θ 0 π / 2 c r 5 5 0 1 = 1 - 0 c 5 1 - 0 = c 5

x - = M y m = c 5 c π 8 = 8 5 π

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ( r   s e n   θ ) ( c   r 2 )   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 2 s e n   θ d θ ∫ 0 1 c   r 4 d r = - cos ⁡ θ 0 π / 2 c r 5 5 0 1 = ( 0 + 1 ) c 5 1 - 0 = c 5

y - = M x m = c 5 c π 8 = 8 5 π

Então,

x ,   - y - = 8 5 π , 8 5 π

Resposta

x ,   - y - = 8 5 π , 8 5 π

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